Linear na homogeneous esi akụkụ nke mbụ iji. ihe atụ nke ihe ngwọta

Echere m na anyị ga-amalite na akụkọ ihe mere eme nke ahụ dị ebube mgbakọ na mwepụ ngwá ọrụ dị ka esi arụmarụ. Dị ka niile esi na integral Calculus, ndị a arụmarụ e mepụtakwara site Newton na mbubreyo narị afọ nke 17. O kweere na ọ bụ ya chọpụtara otú ahụ dị mkpa nke na ọbụna ezoro ezo ozi, nke taa nwere ike sụgharịa ka ndị a: "All iwu okike kọwara esi arụmarụ." O nwere ike iyi ikwubiga okwu ókè, kama ọ bụ eziokwu. Ọ bụla iwu nke physics, onwu, bayoloji, nwere ike kọwara ndị a arụmarụ.

Nnukwu onyinye mmepe na e kere eke nke ozizi esi arụmarụ nwere mgbakọ na mwepụ nke Euler na Lagrange. Ugbua na narị afọ nke 18 na ha chọpụtara na mepụtara ihe a na-amụ na ndị agadi mahadum ọmụmụ.

A ọhụrụ milestone n'ọmụmụ esi arụmarụ malitere ekele Anri Puankare. O kere a "qualitative ozizi esi arụmarụ", nke a, tinyere ozizi ọrụ nke mgbagwoju variables so budata ntọala topology - ọkà mmụta sayensị nke ohere na ya Njirimara.

Gịnị bụ esi arụmarụ?

Ọtụtụ ndị na-atụ egwu nke okwu "esi akụkụ". Otú ọ dị, isiokwu a anyị ga-esi na zuru ezu ọdịdị zuru oke nke a nnọọ uru mgbakọ na mwepụ ngwá ọrụ nke bụ n'ezie bụghị dị ka mgbagwoju anya ka o yiri site na aha. Iji na-amalite ikwu okwu banyere a ụzọ-iji esi akụkụ, ị ga-akpa matakwuo na isi banye n'eluigwe, ndị na-apụtụghị metụtara nke a definition. Na anyị ga-amalite na esi.

esi

Ọtụtụ ndị maara nke a okwu kemgbe akwụkwọ n'ụlọ akwụkwọ sekọndrị. Otú ọ dị, ka biri na ya n'ụzọ zuru ezu. Kere eserese nke ọrụ. Anyị nwere ike na-amụba ya dị otú ahụ ruo n'ókè nke na ọ bụla nke ya nke na-aghọ a ogologo akara. Ọ ga-ewe abụọ ihe na-enweghị atụ nso onye ọ bụla ọzọ. Ihe dị iche n'etiti ha na-achịkọta (x ma ọ bụ y) enweghị. Na a na-akpọ esi na odide ikpo dy (esi of y) na DX (na esi nke x). Ọ dị mkpa ịghọta na esi bụghị kacha uru, na nke a bụ ihe na isi ọrụ.

Na ugbu a ị ga-atụle ihe ndị na-esonụ ọcha, nke anyị ga-mkpa kọwaa esi akụkụ echiche. Ọ - emepụta.

emepụta

All nke anyị ga-nụrụ na na ụlọ akwụkwọ na nke a echiche. Ha na-ekwu na emepụta - bụ ọnụego nke ibu ma ọ bụ na ọnụ nke ndị ọrụ. Otú ọ dị, nke a definition-aghọ ndị ọzọ na-agbagwoju anya. Ka anyị na-agbalị ịkọwa ihe emepụta okwu nke differentials. Ka anyị na-aga azụ ndị enweghị nkeji ọrụ na abụọ ihe, nke na-emi odude na a kacha nta anya n'ebe onye ọ bụla ọzọ. Ma ọbụna karịrị nke a anya ọrụ bụ oge iji gbanwee ka ụfọdụ bara uru. Na-akọwa na mgbanwe na-abịa na a emepụta na-agaraghị ama ma a ga-ede ka ruru nke differentials: f (x) '= DF / DX.

Ugbu a ọ dị mkpa ka a tụlee isi Njirimara nke emepụta. E nwere nanị atọ:

1. Emepụta nchikota ma ọ bụ ihe dị iche nwere ike na-anọchi anya dị ka nchikota ma ọ bụ iche nke nkwekọrịta: (a + b) '= a' + b ', na (ab)' = a'-b '.
2. The abụọ onwunwe e jikọtara ya na multiplication. Emepụta ọrụ - bụ nchikota nke ọrụ nke onye ọrụ na-ọzọ emepụta: (a * b) '= a' * b + a * b '.
3. The emepụta nke ihe dị iche nwere ike e dere dị ka ndị na-esonụ akụkụ: (a / b) '= (a' * ba * b ') / b ^2.

All atụmatụ ndị a abịa kemfe maka ịchọta ihe ngwọta esi arụmarụ nke mbụ iji.

Ọzọkwa, e nwere ele mmadụ anya n'ihu emepụta. Ka e were ya na anyị nwere a ọrụ nke z, nke na-adabere na variables x na y. Gbakọọ ele mmadụ anya n'ihu emepụta nke ọrụ a, ka ihe atụ, na x, anyị kwesịrị iji na-agbanwe y maka mgbe nile na mfe iche.

integral

Ọzọ dị mkpa echiche - integral. N'ezie ọ bụ ndị na-abụghị nke emepụta. Integrals nwere ọtụtụ ụdị, kama mfe ngwọta nke esi arụmarụ, kasị dị anyị mkpa na-adịchaghị mkpa ebighị ebi integrals.

Ya mere, ihe bụ integral? Ka na-ekwu na anyị nwere ụfọdụ mmekọrịta f nke x. Anyị na-esi na ya na-integral na inweta a ọrụ F (x) (ọ na-emekarị kwuru na dị ka a oge ochie), nke bụ a emepụta nke mbụ ọrụ. Ya mere F (x) '= f (x). Nke a na-egosi na integral nke emepụta bụ hà mbụ ọrụ.

Na idozi esi arụmarụ ọ dị ezigbo mkpa ịghọta ihe ọ pụtara na ọrụ nke integral, ebe nke ukwuu mgbe ga-ewere ha ka ha chọta ihe ngwọta.

The arụmarụ dị iche dabere na ha agwa. Na ọzọ ngalaba anyị ga-ele anya na ụdị nke mbụ iji esi arụmarụ, na mgbe ahụ na-amụta otú na-edozi ha.

Klas nke esi arụmarụ

"Diffury" ekewa site ka nke nkwekọrịta aka na ha. N'ihi ya, ọ a mbụ, abụọ, atọ ma ọ bụ karịa iji. Ha nwekwara ike-ekewa n'ime ọtụtụ ọmụmụ: nkịtị na ele mmadụ anya n'ihu.

N'isiokwu a, anyị ga-atụle nkịtị esi arụmarụ nke mbụ iji. Ihe atụ na ngwọta anyị na-atụle na ndị na-esonụ ngalaba. Anyị tụlee naanị TAC n'ihi na ọ bụ ihe kasị ahụkarị ụdị arụmarụ. Nkịtị kewara subspecies: na separable variables, homogeneous na heterogeneous. Ọzọ, ị ga-amụta otú ha si dị iche onye ọ bụla ọzọ, na-amụta otú na-edozi ha.

Ke adianade do, ndị a arụmarụ nwere ike ikpokọta, ka mgbe anyị na-enweta a usoro esi arụmarụ nke mbụ iji. Ndị dị otú ahụ na usoro, anyị na-ele anya na na-amụta otú na-edozi.

Gịnị mere anyị na-atụle na nke mbụ iji? N'ihi na ọ dị mkpa iji na-amalite na a dị mfe ma na-akọwa ihe niile metụtara na esi arụmarụ, na otu isiokwu ya bụ agaghị ekwe omume.

Arụmarụ na separable variables

Nke a bụ ikekwe kasị mfe mbụ iji esi arụmarụ. Ndị a bụ ihe atụ ndị e nwere ike e dere dị ka: y '= f (x) * f (y). Iji dozie a akụkụ anyị mkpa onodi usoro nke emepụta dị ka ruru nke differentials: y '= dy / DX. Na ya anyị na-enweta akụkụ: dy / DX = f (x) * f (y). Ugbu a, anyị pụrụ ịgakwuru usoro nke idozi ọkọlọtọ ihe atụ: ikewara variables na akụkụ, ie ngwa ngwa na-atụ niile agbanwe y na akụkụ ebe dy, na-emekwa ka ndị na agbanwe x ... Anyị na-enweta ihe akụkụ nke ụdị: dy / f (y) = f (x) DX, nke a na-enweta site na integrals nke abụọ. Echefula banyere mgbe nile na ị chọrọ ka mgbe mwekota.

The ngwọta nke ọ bụla "diffura" - bụ a ọrụ nke x site y (anyị ikpe), ma ọ bụ ọ bụrụ na e a space ọnọdụ, azịza ya bụ a nọmba. Ka anyị tụlee a ihe atụ ụzọ dum nke mkpebi:

y '= 2y mmehie (x)

Nyefee variables dị iche iche ntụziaka:

dy / y = 2 mmehie (x) DX

Ugbu a, integrals. All nke ha nwere ike dị na a pụrụ iche table nke integrals. Na anyị na-enweta:

ln (y) = -2 * cos (x) + C

Ọ bụrụ na chọrọ, anyị pụrụ igosipụta na "y" dị ka a ọrụ nke "X". Ugbu a, anyị nwere ike ikwu na anyị esi akụkụ na-edozi, ma ọ bụrụ na ọ bụghị kpọmkwem ọnọdụ. Nwere ike kpọmkwem ọnọdụ, n'ihi na ihe atụ, y (n / 2) = e. Mgbe ahụ, anyị ga-ịnọchi anya na uru nke ndị a variables na mkpebi na-ahụ uru nke mgbe nile. Anyị ihe atụ, ọ bụ 1.

Homogeneous mbụ iji esi arụmarụ

Ugbu a na-ihe mgbagwoju akụkụ. Homogeneous mbụ iji esi arụmarụ nwere ike e dere n'ozuzu ụdị dị ka: y '= z (x, y). Ọ ga-kwuru na nri ọrụ nke abụọ variables bụ edo, na ya enweghị ike kewara abụọ dabere: z x na z of y. Lelee ma akụkụ bụ homogeneous ma ọ bụ, dị nnọọ mfe: anyị na-eme ndị nnọchi x = k * x na y = k * y. Ugbu a, anyị bee niile k. Ọ bụrụ na akwụkwọ ozi ndị a na-ama esịn, mgbe ahụ, akụkụ homogeneous na ike n'enweghị n'ihu ya ngwọta. N'ileghachi anya n'ihu, anyị na-ekwu: ụkpụrụ nke ihe ngwọta nke ihe atụ ndị a bụkwa nnọọ mfe.

Anyị kwesịrị ime ka nnọchi: y = t (x) * x, ebe t - a ọrụ na-na-na-adabere na x. Mgbe ahụ, anyị pụrụ igosipụta na emepụta: y '= t' (x) * x + t. N'ọnọdụ niile a n'ime anyị mbụ akụkụ na mfe ya, anyị nwere ihe nlereanya nke nkewa nke variables t dị ka x. Dozie ya na-enweta na nduzi nke t (x). Mgbe anyị nwetara ya, nanị ịnọchi anya anyị gara aga nnọchi y = t (x) * x. Mgbe ahụ anyị na-enweta na nduzi nke y na x.

Iji mee ka ọ ghọtakwuo, anyị ga-aghọta ihe atụ: x * y '= yx * e y / x.

Mgbe ịlele nnọchi nke niile adalata. Ya mere, akụkụ bụ n'ezie homogeneous. Ugbu a ka ọzọ nnọchi, anyị na-ekwu banyere: y = t (x) * x na y '= t' (x) * x + t (x). Mgbe simplification ndị na-esonụ akụkụ: t '(x) * x = -e t. Anyị na-ekpebi na a sample na kewapụta variables na anyị ^{na-enweta: e -t = ln (C *} x). Anyị dị nnọọ mkpa iji dochie t site y / x (n'ihi na ọ bụrụ na y = t * x, mgbe ahụ, t = y / x), na anyị na-enweta ^{azịza ya: e -y / x = ln (} x * C).

Linear esi akụkụ nke mbụ iji

Ọ bụ oge na-atụle ọzọ sara mbara isiokwu. Anyị ga-ele anya heterogeneous mbụ iji esi arụmarụ. Olee otú ha si dị iche na gara aga abụọ? Ka ihu ya. Linear mbụ iji esi arụmarụ na n'ozuzu ụdị nke akụkụ nwere ike e dere otú a: y '+ g (x) * y = z (x). Ọ ga-ha ghọta na z (x) na g (x) nwere ike ịbụ mgbe nile ụkpụrụ.

A bụ otu ihe atụ: y '- y * x = x ^2.

E nwere ụzọ abụọ na-edozi, na anyị ịtụ Ka anyị tụlee ha abụọ. The mbụ - na usoro nke mgbanwe nke aka ike constants.

Iji dozie akụkụ a n'ụzọ a, ọ dị mkpa iji-ele mbụ n'aka nri n'akụkụ na-efu, na-edozi n'ihi akụkụ nke mgbe nyefe nke akụkụ-aghọ:

y '= y * x;

dy / DX = y * x;

dy / y = xdx;

ln | y | = x ^2/2 + C;

y = e ^{X2 / 2} * ^C y = C ₁ * e ^{X2 / 2.}

Ugbu a ka ọ dị mkpa na-eji dochie mgbe nile C ₁ on ọrụ v (x), nke anyị ga-ahụ.

y = v * e ^{X2 / 2.}

Bịaruo a nnọchi emepụta:

^{y '= v' * e X2} / ² -x * v * e ^{X2 / 2.}

Na n'ọnọdụ ndị a okwu n'ime mbụ akụkụ:

v '* e ^{X2 / 2} - x * v * e ^{X2 / 2} + x * v * e ^{X2 / 2} = x ^2.

Ị pụrụ ịhụ na na na n'aka ekpe nke abụọ okwu na-ebelata. Ọ bụrụ na ụfọdụ ihe atụ ndị na-eme, mgbe i mere ihe na-ezighị ezi. Anyị na-anọgide na:

v '* e ^{X2 / 2} = x ^2.

Ugbu a, anyị dozie mbụ akụkụ nke ị chọrọ ikewara variables:

DV / DX = x ^{2 /} e ^X2 / ^2;

DV = x ² * e ^{- X2 / 2} DX.

Iji wepu integral, anyị nwere itinye mwekota site akụkụ ebe a. Otú ọ dị, nke a abụghị isiokwu nke isiokwu a. Ọ bụrụ na ị nwere mmasị, ị nwere ike ịmụta na ha onwe ha na-ebu ndị dị otú ahụ omume. Ọ bụghị ike, na na-ezu nkà na-elekọta bụ na-ewe oge.

N'izo aka nke abụọ usoro ihe ngwọta nke inhomogeneous arụmarụ: Bernoulli usoro. Gịnị bụ ụzọ bụ ngwa ngwa na mfe - na ọ bụ gị.

Ya mere, mgbe idozi usoro a, anyị kwesịrị ime ka ndị nnọchi: y = k * n. Ebe a, k na n - ụfọdụ ọrụ dabere na x. Mgbe ahụ emepụta ga-ele anya dị ka: y '= k' * n + k * n '. Dochie abụọ substitutions na akụkụ:

k '* n + k * n ' + x * k * n = x ^2.

Group elu:

k '* n + k * ( n' + x * n) = x ^2.

Ugbu a ka ọ dị mkpa-ele na efu, ya bụ na parentheses. Ugbu a, ọ bụrụ na ị na ikpokọta abụọ n'ihi arụmarụ, anyị nweta a usoro nke mbụ iji esi arụmarụ na-edozi:

n '+ x * n = 0;

k '* n = x ^2.

The mbụ ịha nhata ikpebi otú mbụ akụkụ. Iji mee nke a, i kwesịrị ikewara variables:

DN / DX = x * v;

DN / n = xdx.

Anyị na-integral na anyị nweta: ln (n) = x ^2/2. Mgbe ahụ, ọ bụrụ na anyị na-egosipụta n:

n = e ^{X2 / 2.}

Ugbu a ịnọchi anya na n'ihi akụkụ nke abụọ akụkụ:

k '* e ^{X2 / 2} = x ^2.

Na-enwogha, anyị na-enweta otu akụkụ dị ka na mbụ usoro:

dk = x ^{2 /} e ^X2 / ^2.

Anyị na-agaghị-atụle n'ihu ihe. Ọ bụ kwuru na mbụ mbụ iji esi arụmarụ ngwọta na-akpata bukwanu ike. Otú ọ dị, a miri imikpu na isiokwu na-amalite na na-mma na mma.

Olee ebe esi arụmarụ?

Nke nọ n'ọrụ esi arụmarụ eji na physics, ka ọ fọrọ nke nta nile bụ isi iwu na-dere na esi ụdị, na ndị formulas, anyị na-ahụ - a ngwọta ndị a arụmarụ. Na onwu, ha na-eji otu ihe ahụ mere: nke nkiti iwu na-ewepụtara site na ha. Na bayoloji, na esi arụmarụ na-eji ịdị na omume nke na usoro, dị ka eri ibe - eri anụ. Ha nwekwara ike-eji ike ụdị nke mmeputakwa, n'ihi na ihe atụ, chịrị nke microorganisms.

Ka esi arụmarụ aka ná ndụ?

Azịza nke ajụjụ a dị mfe: ihe ọ bụla. Ọ bụrụ na ị bụghị a ọkà mmụta sayensị ma ọ bụ engineer, ọ bụ eleghi anya na ha ga-bara uru. Otú ọ dị, ọ bụghị-afụ ụfụ ka ị mara ihe esi akụkụ na ọ na-edozi maka n'ozuzu development. Ma mgbe ahụ, ajụjụ nke a na nwa, "ihe a esi akụkụ?" adịghị etinye gị na onye nwụrụ anwụ ọgwụgwụ. Ọfọn, ma ọ bụrụ na ị na-a ọkà mmụta sayensị ma ọ bụ engineer, mgbe ahụ, ị maara na ọ dị mkpa nke isiokwu a na ihe ọ bụla sayensị. Ma ọtụtụ ihe, ugbu a ka ajụjụ "otú dozie esi akụkụ nke mbụ iji?" ị ga-enwe ike inye azịza. Ekweta, ọ bụ mgbe niile mma mgbe ị na-aghọta na ihe ndị mmadụ na-ọbụna egwu ịchọpụta.

The isi nsogbu na-amụ

Isi nsogbu na nghọta nke isiokwu a bụ a àgwà ọjọọ nke mwekota na iche ọrụ. Ọ bụrụ na ị na-na-ata iche nkwekọrịta na integrals, eleghị anya ọ bụ uru na ihe na-amụta, na-amụta ụzọ dị iche iche nke mwekota na iche, na na mgbe ahụ gaa n'ihu n'ọmụmụ ihe ahụ e kwuru na isiokwu.

Ụfọdụ ndị na-iju gị anya na DX nwere ike bufee, dị ka na mbụ (na ụlọ akwụkwọ) rụrụ ụka na akụkụ dy / DX bụ indivisible. Mgbe ahụ mkpa ka ị gụọ akwụkwọ na emepụta na-aghọta na ọ bụ àgwà nke karịrị obere obere, nke a pụrụ mma na idozi arụmarụ.

Ọtụtụ ndị adịghị ozugbo na-aghọta na ihe ngwọta nke esi arụmarụ nke mbụ iji - nke a bụ mgbe a ọrụ ma ọ bụ neberuschiysya integral, na a delusion na-enye ha a mfịna.

Olee ihe ọzọ nwere ike na-amụ mma ịghọta?

Ọ kasị mma na-amalite n'ihu imikpu n'ime ụwa nke esi Calculus nke pụrụ iche na akwụkwọ ọgụgụ, ihe atụ, na mgbakọ na mwepụ analysis maka ụmụ akwụkwọ nke na-abụghị mgbakọ na mwepụ specialties. Ị nwere ike mgbe ime ka ihe pụrụ iche e ji amụ.

Ọ bụ kwuru na, na mgbakwunye na nke esi, e nwere ndị ka integral arụmarụ, otú ị ga-enwe mgbe nile ihe na-agbalịsi ike na ihe na-amụ.

ọgwụgwụ

Anyị nwere olileanya na mgbe na-agụ isiokwu a, ị ga-enwe ihe echiche nke ihe esi arụmarụ na isi dozie ha n'ụzọ ziri ezi.

Na nke ọ bụla, mgbakọ na mwepụ n'ụzọ ọ bụla bara uru ka anyị na ndụ. Ọ na-amalite uche na uche, na-enweghị onye ọ bụla, dị ka enweghị aka.