Maclaurin na decomposition nke ụfọdụ ọrụ

Im elu mgbakọ na mwepụ kwesịrị maara na nchikota nke a ike usoro na nkeji nke convergence nke a ọtụtụ n'ime anyị, bụ a na-aga n'ihu na-akparaghị ókè ọtụtụ ugboro a differentiated ọrụ. Ajụjụ na-ebilite: na-na-ekwe omume na-arụ ụka na nyere aka ike ọrụ f (x) - bụ nchikota nke a ike usoro? Nke ahụ bụ, n'okpuru ihe ọnọdụ f-i f (x) nwere ike na-anọchite anya a ike usoro? Mkpa nke a nke bụ na ọ bụ omume na-eji dochie ihe dị £ Theological f (x) bụ nchikota nke ole na ole mbụ okwu nke a ike usoro, nke ahụ bụ a polynomial. Ndị dị otú ahụ a nnọchi ọrụ bụ nnọọ ihe dị mfe okwu - polynomial - bụ adaba na na idozi nsogbu ụfọdụ na mgbakọ na mwepụ analysis, ya bụ na idozi integrals mgbe ịgbakọ esi arụmarụ , wdg ...

Ọ na-egosi, na n'ihi na ụfọdụ f-ii f (x), agaghi asu nkwekọrịta nke (n + 1) -th iji pụrụ ịgbakọta, gụnyere ihe ọhụrụ na gburugburu (α - R; x ₀ + R) nke a mgbe x = α ngosi usoro bụ:

Nke a usoro na-aha ya bụ mgbe ama ọkà mmụta sayensị Brooke Taylor. A ọnụ ọgụgụ nke nke na-ewepụtara gara aga otu, a na-akpọ a Maclaurin usoro:

A na-achị na-eme ka o kwe omume na-emepụta mgbasa na a Maclaurin usoro:

1. Kpebisie ike na nkwekọrịta nke mbụ, nke abụọ, nke atọ, ... iji.
2. Gbakọọ ihe na-emepụta na x = 0.
3. Record Maclaurin usoro maka ọrụ a, na mgbe ahụ iji chọpụta nkeji nke convergence.
4. Kpebisie ike na nkeji (-R; R), ebe mmapụta akụkụ nke usoro Maclaurin

R _n (x) -> 0 maka n -> na-enweghị nsọtụ. Ọ bụrụ na onye dị adị, ọ ọrụ f (x) ga-hà nchikota nke Maclaurin usoro.

Anyị tụlee Maclaurin usoro maka onye ọrụ.

1. N'ihi ya, mbụ a na-f (x) = e ^x. N'ezie, na àgwà ha ka f-IA ka ewepụtara a dịgasị iche iche nke iwu, ma f ^{(k) (x)} = e ^x, ebe k bụ hà niile eke nọmba. Dochie x = 0. Anyị nweta f ^{(k) (0)} = e ⁰ = 1, k = 1,2 ... Dabere na ndị e kwuru n'elu, a ọnụ ọgụgụ nke e ^x Ọ ga-abụ dị ka ndị a:

2. Maclaurin usoro maka ọrụ f (x) = mmehie x. Ozugbo-ezipụta na f-i nile na-amaghị nkwekọrịta ga-enwe, nakwa f ^'(x) = cos x = mmehie (x + n / 2), ^{f' '(x)} = -sin x = mmehie (x + 2 * n / ²⁾ ..., f ^{(k) (x)} = mmehie (x + n * k / 2), ebe k bụ hà ọ bụla nti integer. Nke ahụ bụ, na-eme dị mfe mgbawa, anyị nwere ike ikwubi na usoro maka f (x) = mmehie x ga-adị ka nke a:

3. Ugbu a, ka anyị tụlee ihe iju f-f (x) = cos x. Ọ bụ amaghi niile nkwekọrịta nke aka ike iji, na ^{| f (k) (x)} | = | Cos (x + k * n / 2) | <= 1, k = 1,2 ... Ọzọ, ya na ha mere ka ụfọdụ mgbawa, anyị na-ahụ na usoro maka f (x) = cos x ga-ele anya dị ka nke a:

Ya mere, anyị depụtara ihe ndị kasị mkpa atụmatụ na ike ga-gbasaa ke a Maclaurin series, ma ha zuo ezu Taylor usoro maka ụfọdụ ọrụ. Ugbu a, anyị ga-depụta ha dị ka mma. Ọ kwesịkwara kwuru na Taylor usoro na Maclaurin usoro bụ akụkụ dị mkpa nke ogbako na usoro nke mkpebi na elu mgbakọ na mwepụ. Ya mere, Taylor usoro.

1. Nke mbụ bụ na usoro nke f-ii f (x) = ln (1 + x). Dị ka na aga na ihe atụ, n'ihi na nke a anyị na-f (x) = ln (1 + x) nwere ike apịaji a ọnụ, na iji n'ozuzu ụdị nke Maclaurin usoro. ma a mma Maclaurin pụrụ inweta nnọọ mfe. Tụnyere a geometric usoro, anyị na-enweta a nọmba maka f (x) = ln (1 + x) nke sample:

2. Na nke abụọ, nke ga-abụ ndị ikpeazụ n'isiokwu a, a ga-enwe usoro maka f (x) = arctg x. Maka x nke nkeji [-1; 1] bụ nti decomposition:

Nke ahụ bụ ihe niile. Ke ibuotikọ emi m na-ahụ kasị eji Taylor usoro na Maclaurin usoro na elu mgbakọ na mwepụ, karịsịa na akụ na ụba na technical kọleji.