A usoro nke linear algebraic arụmarụ. Homogeneous usoro linear algebraic arụmarụ

N'ụlọ akwụkwọ, ọ bụla n'ime anyị na-amụ akụkụ na, n'ezie, a, usoro nke arụmarụ. Ma ọ bụghị ọtụtụ ndị mmadụ mara na e nwere ọtụtụ ụzọ na-edozi ha. Taa, anyị ga-ahụ kpọmkwem niile ụzọ maka idozi a usoro nke linear algebraic arụmarụ, nke na-ekewet nke karịrị abụọ arụmarụ.

akụkọ

Taa, anyị maara na nkà nke idozi arụmarụ na ha na usoro malitere na Babilọn oge ochie na Egypt. Otú ọ dị, ịha nhata na ha maara ụdị pụtara n'ihu anyị mgbe omume nke hà ịrịba ama "=", nke e ẹkenam ke 1556 site na English mgbakọ na mwepụ ndekọ. Site n'ụzọ, nke a na akara a họọrọ maka a mere: ọ pụtara abụọ yiri hà agba. N'ezie, ihe atụ kasịnụ nke ịha nhata adịghị abịa.

The nchoputa nke oge a na lettering na akara nke na-amaghị ókè, na French mgbakọ na mwepụ Fransua Viet. Otú ọ dị, ya designation dị nnọọ iche taa. Dị ka ihe atụ, a square nke-amaghị ọnụ ọgụgụ ya kpọrọ akwụkwọ ozi Q (lat "quadratus".), Ma cube - akwụkwọ ozi C (lat "cubus".). Ndị a na akara now iyi iru ala, ma mgbe ahụ, ọ bụ ihe kacha kensinammuo ụzọ dee a usoro nke linear algebraic arụmarụ.

Otú ọ dị, a mwepu na-agbasokarị ụzọ nke ngwọta bụ na mathematicians weere naanị mma mgbọrọgwụ. Ikekwe nke a bụ n'ihi na eziokwu na-adịghị mma ụkpụrụ adịghị ihe ọ bụla bara uru ngwa. Otu ụzọ ma ọ bụ ọzọ, ma ndị mbụ a ga-atụle na-adịghị mma mgbọrọgwụ malitere mgbe Italian mgbakọ na mwepụ Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano na Raphael Bombelli na narị afọ nke 16. A oge a anya, isi usoro idozi quadratic arụmarụ (site discriminant) guzobere naanị na narị afọ 17 site ọrụ nke Descartes na Newton.

Ke n'etiti narị afọ nke 18 Swiss mgbakọ na mwepụ Gabriel Cramer hụrụ a ụzọ ọhụrụ na-eme ka ihe ngwọta nke usoro linear arụmarụ mfe. Nke a na usoro e mesịrị aha ya, na a ụbọchị na anyị na-eji ya. Ma na usoro nke Kramer kwuchara okwu a obere ka e mesịrị, ma n'ihi na ugbu a, anyị ga-atụle linear arụmarụ na ha ngwọta iche iche si usoro.

linear arụmarụ

Linear arụmarụ - mfe akụkụ na agbanwe (s). Ha bụ ndị nke algebraic. Linear arụmarụ dere n'ozuzu ụdị dị ka ndị a: a ₁ * x ₁ + a _{2 *} x ₂ + ... na _n * x _n = b. Nrubeisi nke a n'ụdị na anyị ga-mkpa na nkwadebe na usoro na matrices on.

A usoro nke linear algebraic arụmarụ

The definition nke a okwu bụ: a set nke arụmarụ na nwere nkịtị unknowns na izugbe ngwọta. A, na ụlọ akwụkwọ niile na-edozi a usoro na abụọ ma ọ bụ atọ arụmarụ. Ma, e nwere usoro na anọ ma ọ bụ karịa mmiri. Ka anyị hụ ụzọ otú dee ha, nke mere na mgbe e mesịrị na ọ bụ adaba na-edozi. Firstly, usoro linear algebraic arụmarụ ga-ele anya ma ọ bụrụ na mma niile variables na-e dere dị ka x na kwekọrọ ekwekọ index: 1,2,3 na na. Nke abuo, o kwesịrị iduga niile arụmarụ na mejupụtara ụdị: a ₁ * x ₁ + a _{2 *} x ₂ + ... na _n * x _n = b.

Mgbe niile nzọụkwụ ndị a, anyị nwere ike na-amalite na-agwa gị otú ahụ ngwọta nke usoro linear arụmarụ. Nke ukwuu maka nke ga-abịa kemfe matriks.

matriks

Matriks - a table na mejupụtara nke e nyere ahịrị na ogidi, na ya ọcha bụ na ha nrutu. Nke a pụrụ ịbụ ma a kpọmkwem uru ma ọ bụ agbanwe. N'ọnọdụ ka ukwuu, ka ikpo ihe na-ndokwa idak subscripts (e.g., a ₁₁ ma ọ bụ ₂₃ ọma). The mbụ index egosi n'usoro ọgụgụ, na nke abụọ - na kọlụm. N'elu matrices dị ka n'elu na ihe ọ bụla ọzọ mgbakọ na mwepụ mmewere nwere ike igosi iche iche arụmọrụ. N'ihi ya, ị nwere ike:

1) wepụ ma tinye otu size nke table.

2) mụbaa matriks ọ bụla nọmba ma ọ bụ vector.

3) Transpose: ịgbanwe matriks edoghi na ogidi, na ogidi - na akara.

4) mụbaa matriks, ma ọ bụrụ na ọnụ ọgụgụ nke e nyere ahịrị bụ hà otu n'ime ha a dị iche iche ọnụ ọgụgụ nke ogidi.

Na-atụle n'ụzọ zuru ezu na ihe niile nke ndị a usoro, dị ka ha na-bara uru ka anyị na-eme n'ọdịnihu. Mwepu na mgbakwunye na nke matrices dị nnọọ mfe. Ebe ọ bụ na anyị si otu size matriks, onye ọ bụla mmewere nke otu table bụ yiri ka ọ bụla ọzọ mmewere. N'ihi ya, anyị tinye (wepụ) abụọ ndị a, ndị (ọ dị mkpa ka ha guzo otu ala-ha matrices). Mgbe ọtụtụ site na ọnụ ọgụgụ nke matriks ma ọ bụ vector ị nanị ba uba ọ bụla mmewere nke matriks site na nọmba (ma ọ bụ vector). Transposition - a-akpali nnọọ mmasị usoro. -Akpali nnọọ mmasị mgbe ụfọdụ ịhụ ya na ndụ n'ezie, n'ihi na ihe atụ, mgbe na-agbanwe agbanwe nghazi nke a mbadamba nkume ma ọ ekwentị. The aịkọn na desktọọpụ bụ a matriks, na a mgbanwe nke ọnọdụ, ọ na-transposed na-aghọ wider, ma mbelata n'ịdị elu.

Ka anyị tụlee ihe a usoro dị ka matriks multiplication. Ọ bụ ezie na ọ gwara anyị, ma na ọ bụghị uru, ma na-maara na ọ bụ ka ndị bara uru. Ọtụtụ abụọ matrices nwere ike ịbụ naanị na n'okpuru ọnọdụ na ọnụ ọgụgụ nke ogidi na otu table bụ hà ka ọnụ ọgụgụ nke e nyere ahịrị ndị ọzọ. Ugbu a onye matriks akara ọcha na ndị ọzọ ọcha nke kwekọrọ ekwekọ kọlụm. Ha mụbaa ọ bụla ọzọ na mgbe nchikota (i.e., n'ihi na ihe atụ, a ngwaahịa nke ọcha ₁₁ na ₁₂ na na ₁₂ b na ₂₂ b ga-hà: a * b _{11 12} + ₁₂ * b na _22). N'ihi ya, a otu table item, na a na usoro yiri ya jupụtara n'ihu.

Ugbu a, anyị nwere ike na-amalite-atụle otú dozie usoro linear arụmarụ.

Gauss

Nke a isiokwu malitere-ebe n'ụlọ akwụkwọ. Anyị maara nke ọma echiche nke "usoro nke abụọ linear arụmarụ" na maara otú idozi ha. Ma ihe ma ọ bụrụ na ọnụ ọgụgụ nke arụmarụ dị ukwuu karịa abụọ? Nke a ga-enyere anyị Gauss usoro.

N'ezie, usoro a bụ adaba iji, ma ọ bụrụ na ị na-eme a matriks nke usoro. Ma, ị gaghị tọghata ọ na-ekpebi na ya.

Ya mere, isi dozie ya site a usoro nke linear arụmarụ Gauss? Site n'ụzọ, ọ bụ ezie na usoro a na aha ya, ma chọtara ya n'oge ochie. Gauss nwere ọrụ rụrụ na arụmarụ, akpatre eme na ozuzu oke na echelon ụdị. Nke ahụ bụ, mkpa ka ị na n'elu-ala (ma ọ bụrụ na n'ụzọ ziri ezi-etinye) si akpa ikpeazụ akụkụ jụrụ oyi onye na-amaghị ama. Na ndị ọzọ okwu, anyị kwesịrị ijide n'aka na anyị na-na na, na-ekwu, atọ arụmarụ: mbụ - atọ unknowns, nke abụọ - abụọ na nke atọ - otu. Mgbe ahụ, site na nke ikpeazụ akụkụ, anyị na-akpa na-amaghị ama, ịnọchi anya ya uru nke abụọ ma ọ bụ ndị mbụ akụkụ, na n'ihu chọta ndị fọdụrụ abụọ variables.

Cramer n'ọchịchị

Maka mmepe nke a Usoro dị oké mkpa ịmụta nkà nke adianade do, mwepu nke matrices, nakwa dị ka ọ dị mkpa na-enwe ike ịchọta determinants. Ya mere, ọ bụrụ na ị na-ata na-eme nke a niile ma ọ bụ amaghị otú, ọ dị mkpa na-amụta na-azụ.

Gịnị bụ ọdịdị zuru oke nke usoro a, na otú ime otú ahụ, na-a usoro nke linear arụmarụ Cramer? Ọ bụ nnọọ mfe. Anyị kwesịrị iru a matriks nke nọmba (fọrọ nke nta mgbe) na ọnụọgụ nke a usoro nke linear algebraic arụmarụ. Iji mee nke a, nanị na-ọnụ ọgụgụ nke ndị na-amaghị ama, na anyị na-eme ndokwa a table na ka ha na-dere na usoro. Ọ bụrụ na tupu nọmba bụ ihe ịrịba ama "-", mgbe ahụ, anyị na-ede na-ezighị ezi ọnụọgụ. Ya mere, anyị mere nke mbụ matriks nke ọnụọgụ nke unknowns, bụghị gụnyere ọnụ ọgụgụ mgbe hà ịrịba ama (N'ezie, na akụkụ a ga-ebelata ka mejupụtara ụdị mgbe nri bụ nnọọ a ọnụ, na-ekpe - niile unknowns na ọnụọgụ). Mgbe ahụ mkpa ka ị a ole na ole matrices - otu onye maka otu agbanwe. N'ihi nke a, na mbụ matriks na-anọchi otu kọlụm na onye ọ bụla na kọlụm na nọmba na ọnụọgụ mgbe hà ịrịba ama. N'ihi ya anyị na-enweta a ole na ole matrices na mgbe ahụ ha determinants.

Mgbe anyị chọpụtara na ndị na qualifiers, ọ bụ obere. Anyị nwere onye mbụ matriks, na e nwere ọtụtụ ewepụtara matrices, nke-ederịta akwụkwọ ozi dị iche iche variables. Iji nweta a usoro ngwọta, anyị kewaa ekpebi dapụtara table na isi ekpebi ihe na tebụl. Ihe nọmba bụ uru nke otu agbanwe. N'otu aka ahụ, anyị na-ahụ niile unknowns.

ụzọ ndị ọzọ

E nwere ọtụtụ ụzọ iji nweta ihe ngwọta nke usoro linear arụmarụ. Dị ka ihe atụ, a na-akpọ Gauss-Jordan usoro, nke na-eji maka ịchọta ihe ngwọta nke usoro nke quadratic arụmarụ, na-na-akọ na ojiji nke matrices. E nwekwara a Jacobi usoro idozi a usoro nke linear algebraic arụmarụ. Ọ na-adị mfe adapts niile na kọmputa na na-eji na Mgbakọ.

mgbagwoju anya ikpe

Complexity emekarị emee ma ọ bụrụ na ọnụ ọgụgụ nke arụmarụ bụ ihe na-erughị ọnụ ọgụgụ nke variables. Mgbe ahụ, anyị nwere ike na-ekwu na, ma ọ bụ usoro ekwekọghị (ie, ọ dịghị mgbọrọgwụ), ma ọ bụ nọmba nke ya mkpebi nēche ebighebi. Ọ bụrụ na anyị nwere nke abụọ ahụ - ọ dị mkpa iji dee general ngwọta nke usoro linear arụmarụ. Ọ ga-agụnye ọ dịkarịa ala otu agbanwe.

ọgwụgwụ

Ebe a anyị na-abịa na njedebe. Iji ichikota: na anyị ga-aghọta ihe na-usoro matriks, mụtara chọta izugbe ngwọta nke a usoro nke linear arụmarụ. Na mgbakwunye na anyị na-atụle ọzọ nhọrọ. Anyị achọpụtawo ụzọ isi dozie usoro linear arụmarụ: Gaussian mkpochapu na Cramer n'ọchịchị. Anyị na-ekwu banyere ike ikpe na ụzọ ndị ọzọ nke ịchọta ihe ngwọta.

N'ezie, nke a nke bụ ihe ọzọ ọtụtụ, ma ọ bụrụ na ị chọrọ ịghọtakwu ya, anyị ndụmọdụ gị na-agụ ihe nke pụrụ iche akwụkwọ e ji amụ.